Platonik Katılar, Aptal Altını, Virüsler

Platonik katıların varlığı ve özellikleri çok eski zamanlardan beri biliniyor. Eski Yunan’da yaklaşık MÖ 360 civarında, Platon’un Timeaus adlı eserinde bahsi geçmesi nedeniyle bu isim veriliyor olsa da, zamanında eski bir ezoterik matematik tarikatı kurmuş olan Pisagorcuların bunları ilk teorize edenler oldukları söylenir. Fakat büyük olasılıkla sadece üç tanesinden haberdardılar; tetrahedron (dört yüzlü), hegzahedron (küp – altı yüzlü) ve dodekahedron (on iki yüzlü). oktahedron (sekiz yüzlü) ve ikosahedron (yirmi yüzlü)’un ise Theaetetus tarafından keşfedildiği sanılmaktadır.

platonic-solids

Bunlardan tetrahedron, küp ve oktahedronun doğada görünebilir örneklerinin var olması nedeniyle keşfedilmeleri normal karşılanabilecek bir durumken, dodekahedron ve ikosahedronun soyutlama yoluyla bilinir oldukları tahmin edilmektedir. 16. yüzyılda Kepler de gezegenlerin gerçek elips yörüngelerini keşfetmeden önce gezegen yörüngelerini ve Güneş’e uzaklıklarını Platonik katılar aracılığıyla açıklayan bir model öne sürmüştü. Matematiksel estetiğin doğayı ve özellikle de gökyüzünü açıklayabilmesi gerektiği düşüncesinin sonucuydu bu durum, fakat işlerin çok daha karmaşık olduğu sonradan anlaşılacaktı.

kepler_solids

Peki başka keşfedilmemiş Platonik katılar da var mı? Üç boyutlu uzayda hayır, sayıları sadece beş tane. Bunun da çok basit bir topolojik ispatı var. Platonik katıların tümünün Euler sayısı 2’dir. Yani köşelerinin sayısı (V) eksi kenarlarının sayısı (E) artı yüzlerinin sayısı (F) tümü için 2’ye eşittir;

eq1

Bu özelliği sağlayan bilinen beş Platonik katı dışında herhangi bir çok yüzlü üç boyutta oluşturulamaz. İspat mı? Bir Platonik katıyı oluşturan yüzlerden birinin kenarlarının sayısına p ve her bir köşede birleşen yüzlerin sayısına da q diyelim. Bu arada {p,q} ikilisi o cismin Schlӓfli sembolü olarak adlandırılır. Her bir kenar iki köşeyi birleştirdiğinden ve iki yüze bitişik olduğundan aşağıdaki eşitlikler her zaman geçerlidir (biraz düşünerek görebilirsiniz!)

eq2

Bu eşitlikleri kullanıp yukarıdaki Euler formülünü sadece kenar sayısı E cinsinden yazabiliriz

eq3

E daima sıfırdan büyük olduğundan (daima sıfırdan fazla sayıda kenar sayımız olmalı!) sol taraftaki toplam daima 1/2’den büyük olmalı

eq4

ve üç boyutta bu şartı sağlayan {p,q} ikililerinin sayısı sadece beş tanedir;

eq5

Bunlar da sırasıyla tetrahedron, küp, oktahedron, dodekahedron ve ikosahedrondur, başka bir olasılık da mümkün değildir. Fakat daha yüksek boyutlarda durum değişebilir. Örneğin dört boyutta altı tane düzgün çokyüzlü oluşturulabilir. Boyut arttıkça bunların sayılarının da artacağı akla gelse de dörtten büyük her boyutta yalnıza üç tane düzgün çokyüzlü vardır. Yani en fazla sayıya dört boyutta ulaşılır. Esasında dört boyutun matematiksel olarak diğer boyutlardan başka açılardan da daha zengin olduğu biliniyor. Fakat bunun neden böyle olduğu konusunda henüz kesin bir fikir bulunmuyor. Ve ne tesadüf ki, içinde yaşadığımız uzay-zaman da dört boyutlu!

4d-platonics

Platonik katılardan yalnızca ilk üçünün doğada görünür karşılığı olduğu doğru olsa da bu diğerlerinin hiçbir şekilde doğada ortaya çıkmadıkları anlamına gelmiyor. Sicilya’da yaşayan Pisagorcuların dodekahedronu keşfetmelerine bu adada bol bulunan bir kristalin aracılık ettiği düşünülüyor. Aptal altını da denilen demir pirit kristalleri dodekahedrona çok benzeyen şekiller oluşturabiliyorlar. Esas yapısı küplerin üst üste dizilmeleriyle oluşmuş yaklaşık bir dodekahedron yapısı olsa da, kabaca dodekahedronun varlığını keşfetmeye yarayacak kadar benzerlik gösteriyor. Demir pirit kristallerine aptal altını denmesinin sebebi ise bu maddenin altına neredeyse ayırt edilemeyecek kadar çok benziyor oluşu. Gerçek altınla aptal altınını ayırt etmenin bir yolu ise demir piritin küp ve dodekahedron gibi düzenli şekilli kristallerden oluşmasına karşın gerçek altının düzensiz biçimlerde bulunuyor oluşu.

fools-gold-dodecahedron

Peki ikosahedron doğada karşılığı olmayan tek Platonik katı mı? Cevap hayır. Gözle görünür düzeyde olmasa da mikroskopik ölçeklerde ikosahedronlar doğada mevcutlar. Virüslerin tamamı geometrik şekillere sahipler, bunun nedeni de en basit biyolojik yapı olmalarından kaynaklanıyor. Virüslerin canlı mı yoksa cansız mı oldukları tartışmalı, ikisinin arasında bir yerdeler. Özdeş protein altbirimlerinin tekrarlı üsüste binmesinden oluşan virüslerin bu şekilde oluşturabilecekleri en kolay yapılar Platonik katı biçimleri. Birçok virüsün yapısı da ikosahedron biçiminde, bu şekilde tek bir proteinin tekrar tekrar üst üste konulmasıyla en fazla yer tasarrufu sağlanmış oluyor.

icosahedron-virus

Yani Platonik katılar sadece geometrik soyutlamalara değil, doğanın gerçek yapılarına da karşılık geliyorlar. Peki dört boyutun düzgün çokyüzlülerini görebileceğimiz bir yer var mı?

Bu yazı Kategorisiz içinde yayınlandı. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin.

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Connecting to %s