Sicim Teorisi ya da Fiziksel Gerçeklik mi Matematiksel Güzellik mi?

Doğanın temel yasalarını tek bir çerçevede birleştirmeyi amaçlayan teoriler üretme çabaları, modern anlamda yaklaşık yüz yılı aşkın bir süredir devam ediyor. Ancak, bu yönde farklı yaklaşımlar üretilmiş olmasına karşın, henüz esas amaca ulaşılamadığı gibi varolan teorilerin amaca uygunluğuna ilişkin şüpheler de gittikçe artıyor. Teorik fiziğin ‘herşeyin teorisi’ arayışındaki en popüler adaylar olan sicim teorilerine ilişkin eleştiriler son zamanlarda epey hissedilir hale gelmeye başladı. Sicim teorileri temel olarak maddesel parçacıkların noktasal değil bir boyutlu sicimler şeklinde olduğu ve farklı parçacık türlerinin de bu sicimlerin farklı titreşim modlarına karşılık geldiği varsayımından yola çıkıyor. Fakat bu teorilerin en önemli özelliği gözlemlediğimiz dört boyutta değil on uzay-zaman boyutunda tutarlı olarak tanımlanabiliyor olmaları. Geriye kalan altı boyut çok küçük ölçeklerde var olduğundan varlıklarını gözlemsel olarak doğrulayamıyoruz.

Seksenli ve doksanlı yıllarda yaşanan iki süpersicim devrimi sonucunda, süpersimetrinin dahil edilmesi ve beş farklı sicim teorisinin on bir boyutlu M-teorisi çerçevesinde birleştirilebilmesini sağlayan dualitelerin varlığının ortaya atılmasıyla, oldukça umut vaat edici gelişmeler yaşanmıştı. M-teorisinde, bir boyutlu sicimlerin yanı sıra daha yüksek boyutlu zarlar da temel parçacıklara karşılık gelebiliyor. Bunların yanı sıra holografi ve farklı teoriler arasındaki karşılıklılık (AdS/CFT) ilişkileri de oldukça ilginç gelişmelere yol açmaya devam ediyor. Ancak, sicim teorisinin bazı temel matematiksel varsayımlarının uzun yıllar sonucunda henüz ispatlanamamış olması, gözlemsel öngörülerde bulunabilme yönünden yetersiz olması ve tutarlı sicim teorisi arkaplanlarının büyük olasılıkla sonsuz sayıda olduğunun ortaya çıkması, fiziksel gerçekliğin doğru bir betimlemesi olabileceklerine ilişkin varsayımlara şüpheyle yaklaşılmasına yol açıyor.

Bütün bunlara rağmen, sicim teorileri teorik fizikçiler arasında ‘herşeyin teorisi’ adayı olarak en çok çalışılan alan olmayı sürdürüyor. Bunun ise fiziksel gerçeklikten çok matematiksel öngörülerle ilişkisi var. Sicim teorisindeki dualiteler kullanılarak matematikte daha önce çözülememiş problemlere çözümler önerilebilmesi, cebirsel eğrilerin sayımında çok daha etkin yöntemlerin ortaya konulabilmesi, farklı kompleks uzaylar arasında daha önce bilinmeyen ilişkilerin varlığının gösterilebilmesi mümkün olabiliyor. Bu da teorik fizikçiler ve matematikçiler arasında bu kadar matematiksel estetik ve güzelliğe sahip bir alanın gerçek doğayı betimlemesi gerektiği yönünde düşünceler oluşmasına neden oluyor.

Fakat gerçek şu ki, sicim teorilerinin herhangi bir şekilde deneysel doğrulamaları elde edilemediği gibi bunun tam aksi yönünde ipuçları son zamanlarda ortaya çıkmaya başladı. Büyük Hadron Çarpıştırıcısı (LHC)’nda yüksek enerjilerde yapılan son gözlemler süpersimetri parçacıklarının izlerine rastlayamadı ve öyle görünüyor ki sicim teorisinin temel dayanaklarından birisi olan ve iki farklı tip parçacık türü olan bozonlar ve fermiyonlar arasındaki doğal bir simetrinin varlığını öngören süpersimetri, doğada var olan bir simetriye karşılık gelmiyor. Elbette, sicim teorisinin savunucuları süpersimetrinin daha yüksek enerjilerde var olabileceği, temel matematiksel varsayımların bir şekilde ispatlanacağı ve sonsuz sayıdaki arka planların sonsuz sayıda paralel evrenlere (multiverse) karşılık gelebileceği yönünde iyimser yaklaşımlar da sergiliyebiliyorlar. Ancak, bu düşüncelerin gerçeklikten çok teoriyi kurtarmaya yönelik çabalar olabileceği gittikçe daha fazla dillendirilmeye başlıyor.

Peter Woit’ın ‘Not Even Wrong’u ile başlayan, Lee Smolin’in ‘The Trouble with Physics’i ile devam eden sicim teorisine ilişkin şüpheler Roger Penrose’un geçen yıl basılan ‘Fashion, Faith and Fantasy’si ile sürüyor. Öyle görünüyor ki, gelecek yıllarda sicim teorisi yoluna fiziksel gerçekliği betimleyen bir teori olmaktan ziyade matematiğin bir alt dalına dönüşmüş bir alan olarak devam edecek. Doğanın temelindeki yasaları bulmaya yönelik çabaların gideceği yön ise epey muammalı görünüyor.

Kategorisiz içinde yayınlandı | Yorum bırakın

Bilincin Katmanları ve Sanatın Kökeni

Sanatın ve soyut düşüncenin kökeninin, çoğunlukla insanın doğaya ve çevresine verdiği tepkilerle ilişkili olduğu düşünülse de esasında bunun daha içsel nedenleri olabilir. Gündelik yaşamlarımızda deneyimlediğimiz mantıksal bilinç düzeyinin yanı sıra, insan bilinci daha farklı katmanlara da sahiptir ve bu katmanlar insan toplumlarının sosyal etkileşimlerinde dünyayı değiştiren kilit roller oynamıştır. Uyanık bilinç ve bilinçsizlik durumları ile bunların arasında bir yerde yer alan rüya deneyimleri genel olarak tanımlanabilen bilinç durumları olmasına karşın, bilincin daha farklı uyarılmış durumları nadir durumlarda deneyimlenebilen katmanlar olarak ortaya çıkar. Bu katmanlar, entoptik (gözsel), algısal ve halüsinatif bilinç katmanlarıdır ve çeşitli çevresel ve kimyasal uyaranlarla ortaya çıkabilirler.

Bilincin muğlaklaşmaya başladığı entoptik katmanda kişi, gözdeki ışık konilerinin geometrik şekillerinin beyine dıştan gelen bir algıymış gibi iletilmesinden kaynaklanan ışık parlamaları, geometrik ve zikzak şekiller görmeye başlar. Algısal katmanda ise bu geometrik şekillere zor nefes alma ya da uçma deneyimine benzer algılar eşlik etmeye başlar. Bu durum genellikle bir mağaranın ucunda ışık görme ya da bir girdabın içerisine girme olarak deneyimlenir. Halüsinatif katmanda ise bilinç, rüyalara benzer şekilde, gündelik deneyimlerden kaynaklanan nesnelerle geometrik şekillerin birbirine karıştığı farklı algılar üretmeye başlar.

İşin ilginç tarafı, eski tarihlerde ve günümüzde yaşayan tüm avcı-toplayıcı toplumlarda var olan şaman ritüelleri tam olarak bu bilinç katmanlarının sonuçlarından kaynaklanmaktadır. Bitkisel ya da çevresel uyaranlarla bilinç ötesi duruma geçen şaman, algısal katmandaki deneyimine bağlı olarak yer altına indiğini ya da gökyüzünde uçtuğunu hissedebilir ve halüsinatif evredeki deneyimleriyle de buralardaki diğer varlıklarla iletişim kurduğu hissini yaşar. Dahası bu deneyimler çoğunlukla kayalara ve mağaralara çizilerek kalıcı hale getirilmeye çalışılır. Güney Afrika ve Kuzey Amerika’nın yerli toplumlarında var olan kaya resimlerindeki geometrik ve zikzak biçimli şekiller ile yarı hayvan yarı insan biçimli bedenler bunlara örnektir.

Yaklaşık 14,000 yıl önce son buzul çağının sonlarındaki Üst Paleolitik dönemde, şimdiki Güney Fransa ve Kuzey İspanya’da yaşayan insan toplumlarının mağara resimleri de büyük olasılıkla bu tür deneyimlerin sonucuydular. Özellikle Lascaux, Chauvet ve Altamira mağaralarının derinliklerinde yer alan hayvan resimleri sanatın ilk örnekleri olarak kabul edilmektedirler. Bu mağaraların katmanlı yapılarının yer altı dünyasına bir giriş gibi algılandığı, toplumsal ritüeller açısından büyük önem taşıdığı ve insan toplumlarının çevrelerini şekillendirmede büyük etkiye sahip olduğu sanılmaktadır. Sanatın insan toplumlarındaki evrenselliği ve sanatın kökeninin farklı bilinç katmanlarındaki algılardan kaynaklandığı, aynı dönemlerde farklı yerlerde yaşayan insanların da benzer mağara resimleri çizdiğinin keşfedilmesiyle doğrulanmıştır.

Kategorisiz içinde yayınlandı | 1 Yorum

Orta Atlantik Sırtı, Kayıp Şehir ve Yaşamın Başlangıcı

Dünya’nın en dış kabuğu, daha aşağılardaki lav denizi üzerinde hareket eden ve birbirlerine yapışık halde bulunan kırık tabakalardan meydana gelmiştir. Bu yedi büyük tektonik tabaka ve daha küçükleri birbirlerini iterek kıtaların kayma hareketlerine neden olmaktadırlar. Bazı bölümlerde bu tabakalar birbirlerinin altına girerken, diğer kısımlarda ise birbirlerinden uzaklaşırlar. Kuzey Amerika ve Avrasya tabakaları da Atlantik Okyanusunun tam ortasından geçen bir dağ zinciriyle ayrılırlar. Orta Atlantik Sırtı adı verilen bu dağ zinciri kuzey kutbundan başlayıp İzlanda’nın tam ortasından geçerek güney kutbuna kadar uzanır. Alt kısımdaki magmanın yüzeye çıktığı ve tabakaları birbirinden uzaklaştırdığı bu dağ zinciri aynı zamanda yaşamın kökenine ilişkin çok ilginç ipuçlarına da ev sahipliği yapmaktadır.

Tabakaların birbirlerinden ayrıldığı bölgelerde derin deniz sıcak su termal bacaları bulunur. Bu hidrotermal bacalardan aşırı sıcak ve siyah dumanlar yükselir. Dahası, hiç güneş ışığı almamasına rağmen bu bacaların etrafı yaşamla doludur. Bacaların etrafında yaşayan organizmalar, metabolizmalarını devam ettirmek için gerekli olan enerjiyi Güneş’ten gelen ışık aracılığıyla değil, bacalardan çıkan karbondioksit, hidrojen sülfür ve bazı metaller aracılığıyla karşılarlar. Fakat, bu sıcak su bacalarından ayrı, bir de alkalin hidrotermal menfezler bulunur bu bölgelerde. Bunların renkleri beyaz ve yeşil arasıdır ve menfezlerden sıcak dumanlar yükselmediği gibi sıcaklık ve asitlik değerleri de siyah bacalardan farklıdır. Etraflarındaki suya daha çok metan ve hidrojen yayarlar. Ancak bu menfezlerin etraflarında da çeşitli küçük organizmalar yer alsa da siyah bacalardakine benzer büyük organizmalar mevcut değildir.

Orta Atlantik Sırtında yer alan ‘Kayıp Şehir’ de alkalin hidrotermal menfezlerin bilinen en iyi örneğidir. Büyük boyutlu yaşam içermese de fotosentez öncesi yaşamın ipuçlarını veren küçük boyutlu yaşamın ilginç örneklerinin varlığı ‘Kayıp Şehir’i yaşamın kökeni ile ilgili araştırmalarda çok farklı bir yere oturtmaktadır. ‘Kayıp Şehir’in bir benzeri olan başka bir alkalin menfez de İzlanda’nın kuzey kıyılarında bulunmuştur. Bu menfezlerdeki kimyasal bileşim ve içlerinde akan sıvı odalarını birbirinden ayıran bölgelerin varlığı, tek hücreli canlıların enerji üretim mekanizmalarıyla ilginç benzerlikler taşımaktadır.

Dünya üzerindeki çekirdeksiz tek hücreli canlılar, birbirlerinden çok farklı hücresel işleyiş mekanizmalarına sahip iki farklı grup oluştururlar; arkeler ve bakteriler. Daha büyük organizmaların yapı taşları olan çekirdekli hücreler (ökaryotlar) ise bu iki grubun ortakyaşam stratejisi sonucunda ortaya çıkmışlardır. Bir arke organizma bir bakteriyi içine alarak ökaryotlara ulaşacak zinciri başlatmıştır (ökaryotlardaki mitokondrilerin ataları bakterilerdir). Fakat hem arkelerin hem de bakterilerin birbirlerinden çok farklı olan hücre zarı ve enerji üretim mekanizmalarının, Dünya’nın eski zamanlarındaki alkalin hidrotermal menfezlerden kaynaklandığı düşünülmektedir. Çekirdeksiz tek hücrelilerin mekanizmalarında ihtiyaç duyulan kimyasallar ve süreçler bu menfezlerde mevcuttur. Arkelerin ve bakterilerin farklı işleyiş biçimlerinin, ilk hücremsi yapıların menfezlerden ayrılmaları sırasında bütünlüklerini koruyabilmek adına buldukları iki farklı yönteme karşılık geldiği düşünülmektedir. Bu da kimyasal süreçlerle yaşam arasındaki geçiş sürekliliğini ortaya seren çok önemli bir ipucuna işaret ediyor olabilir. Yani yaşam, kıyılarda ya da okyanus yüzeyinde değil çok daha derinlerde başlamış olabilir.

Kategorisiz içinde yayınlandı | Yorum bırakın

Pollock’ın Damlaları, Fraktallar ve Rastgelelik

Sürrealizm ve soyut ekspresyonizmin bir çeşidi olan ‘drip painting’ her ne kadar anlık ve gerçeküstü eserler ortaya çıkarsa da gerçeklikle bazı yönlerden bağlantılı olduğu da iddia edilebilir. Tuval üzerine boya damlatma ile yapılan ve farklı renklerin karmaşasının göze hoş geldiği bir karışım oluşturan ‘drip painting’ yönteminin en önemli uygulayıcılarından birisi Jackson Pollock idi. 20. yüzyılın sıra dışı ve huzursuz sanatçılarından olan Pollock, rastgeleliğin göze hoş gelen etkilerine güzel örnekler veren tablolar üretmişti. İçindeki huzursuzluğu, zemine serili dev tuvallere boya damlatarak gidermeye çalışmış, ortaya çıkan eserlerdeki tarzda da küçüklüğündeki Amerikan yerli kültürü ile olan ilişkilerinin etkisi olabileceğini belirtmişti.

jackson-pollock1

Bu yöntemin gerçeklikle olan bağlantısı ise ortaya çıkan eserlerin doğadaki fraktal yapılarla olan benzerliklerine dayanıyor. Dolayısıyla bu akımın fraktal ekspresyonizm olarak adlandırıldığı da oluyor. Fraktallar, her ölçekte aynı deseni tekrar eden ve doğada da örneklerine rastlanan matematiksel yapılar. Matematiksel olarak iteratif fonksiyonlarla ifade edilseler de nehir ağları, fay hatları, kraterler, şimşek hatları, sahil çizgileri, kar taneleri, kristaller ve doğadaki daha birçok benzeri yapı kendini farklı ölçeklerde tekrar eden fraktal özelliklere sahipler. Bu da doğanın temelindeki istatistiksel yasaların fraktal yapılar çıkarma eğilimini ortaya koyuyor.

fractal

Matematiksel fraktalların en ünlüleri arasında Menger süngeri, Julia kümesi, yanan gemi fraktalı ve Mandelbrot kümesi sayılabilir. Özellikle, fraktallara ismini veren Benoit Mandelbrot’nun ismini taşıyan Mandelbrot kümesi, tüm ölçeklerde tekrar eden belirgin bir şekle sahip olmasıyla oldukça ilginç bir yapı. Farklı iteratif kompleks fonksiyonlar kullanarak, göze hoş gelen fraktallar üretmek de sanatın başka bir biçimi olarak ele alınabilir.

mandelbrot-set

Pollock’ın eserleri ile fraktallar arasındaki benzerlik de ‘drip painting’ yönteminin ortaya çıkardığı rastgeleliğin, farklı ölçeklerde benzer görüntülere sahip olabilme özelliğinden kaynaklanıyor. Dolayısıyla resme ne kadar yaklaşırsanız yaklaşın yine benzer bir desen görüyorsunuz. Dahası bu yöntemle oluşturulan resimlerin göze hoş gelme nedeninin de doğal yapılarla olan ilişkilerden kaynaklandığı düşünülüyor. Yani, doğanın içsel uyumuyla tuvaller arasında bilinçaltında bir benzerlik kurup güzellik hissinin ortaya çıkması sağlanmış oluyor.

jackson-pollock2

‘Drip painting’ yöntemiyle kendiniz de bir şeyler ortaya çıkarmak isterseniz aşağıdaki linki ziyaret etmenizi tavsiye ederim;
www.jacksonpollock.org

Kategorisiz içinde yayınlandı | 1 Yorum

Dr. Strangelove ya da Endişelenmeyi Bırakıp Bombayı Sevmeyi Nasıl Öğrendim

İnsan zekâsının aynı düzeyde kalmasına (ve bazı durumlarda geri gitmesine) rağmen, elinde bulunan teknolojik kontrol olanaklarının gelişmesinin ne tür toplumsal etkilere yol açabileceği sorusunun cevapları şaşırtıcı olabilir. Bu konuyla ilgili en ilginç incelemelerden birisi, altmışlı yılların ortalarında Stanley Kubrick’den gelmişti; Dr. Strangelove or How I Learned to Stop Worrying and Love the Bomb.

mandrake

Kubrick’in birçok diğer filminde karşılaşılan ince mizahın bu kez kara mizaha dönüştüğü ve gerçek bir nükleer savaş krizinin nasıl kontrolsüz bir şekilde ortaya çıkabileceğini gösteren bir politik hiciv örneği. Üstelik filmde anlatılanların o yıllarda birebir gerçekleşebilme olasılığının var olduğu sonradan doğrulanmıştı. Öyle ki nükleer silahları çalıştırma yetkisinin tek bir kişide olduğu ve başlatma şifresinin de ‘00000000’ olduğu yıllar gerçekten de vardı. Bütün bunların bugün de yaşanmayacağına dair bir garantimiz de yok elbette.

war-room

Film, akıl sağlığı bozulmuş olduğu sonradan anlaşılan bir generalin nükleer savaş emri vermesiyle başlıyor ve olaylar bunu engellemenin olanaksız olduğu bir noktaya doğru hızla ilerliyor. Bir yanda durumu engellemeye çalışanlar, bir yanda sorgusuz sualsiz ve hevesle durumdan keyif alanlar ve elbette insanların zekâyı aptallığa çevirebilme konusundaki başarılarıyla durum bir kısır döngüye doğru yuvarlanıyor.

strangelove

Bir noktada da ortaya Dr. Strangelove çıkıyor. Bu karakterin, önceleri Nazi Almanyasında roketlerin gelişimi için çalışan ve sonradan Amerika’ya yerleşen Wernher von Braun’dan esinlendiği düşünülüyor. Fakat bununla ilgili John von Neumann ve Henry Kissinger benzetmeleri de var. Diğer dikkat çekici noktalar ise ‘Kıyamet makinesi’ ve Dr. Strangelove’ın bundan sonrasına ilişkin senaryoları, nükleer bombaların isimleri (‘Hi There’ ve ‘Hello World’), bombayı atan pilotların tarif edilemez donuk zekâları ve kaçınılmaz son. Bir başka ilginç nokta da filmdeki üç ana karakteri de aynı kişinin yani Peter Sellers’ın canlandırıyor olması.

bomb

Belki de hiç eskimeyecek olan ve insan zekâsının gelişiminin teknolojinin ilerlemesinden daha yavaş kaldığında başımıza gelmesi kaçınılmaz gibi duran bir senaryonun kara mizahı. Mutlaka izlenmesi gereken 1964 yılından bir siyah-beyaz klasik.

Kategorisiz içinde yayınlandı | 1 Yorum

Kendiliğinden-Organizasyon, Karmaşıklık ve Dağıtıcı Yapılar

Karmaşık yapıların içinden çıkan düzen adacıkları ve kendiliğinden-organize olabilen denge-dışı sistemler. Evrenin tüm karmaşıklığını yaratan süreçlerin temelinde bu olaylar varmış gibi görünüyor. Evrenin tam bir termodinamik denge, sakinlik ve ölüm halinde bulunmayıp karmaşık ve değişen yapılar ortaya çıkarabiliyor olması, tüm ölçeklerde görülebilen kendiliğinden-organizasyon süreçleriyle bağlantılı. Yani herhangi bir sistem, enerjisi arttıkça karmaşıklığını da artırıyor ve sonunda bozulmadan kalabilen kararlı yapılar ortaya çıkarıyor. Öyle ki bu kendiliğinden-organize yapı örnekleri ısı transferi yapan konveksiyon akımlarından canlılığın kökenindeki minik hücrelere, daha büyük organizmalar ve insanlardan insanların kurduğu şehirlere, atmosferdeki kasırgalar ve okyanuslardaki akıntılardan Jüpiter’in büyük kırmızı lekesine ve evrenin büyük ölçekli yapısındaki galaksilere kadar uzanıyor. Yani içinde bulunduğumuz tüm doku, karmaşıklık ve kendiliğinden-organizasyon yasalarıyla yönetiliyor.

self-organization

Bütün bu denge-dışı organize yapılar, sistemin dışından sürekli bir enerji akışına bağımlılar. Fakat ilginç olan nokta, sisteme dışarıdan sağlanan enerjinin sistemin hareket ölçüsünü artırmakla kalmayıp karmaşık ve lokal olarak kararlı yapılar ortaya çıkartabiliyor olması. Dünya gezegeni durumunda dışarıdan sağlanan enerji, Güneş’in nükleer enerjisine karşılık geliyor. Gezegendeki tüm karmaşıklık, Güneşten sürekli gelen enerji akışının bir sonucu. Bu enerji akışının lokalize olduğu organize bölgeler dağıtıcı yapılar olarak adlandırılıyor. Bu ismin nedeni enerjiyi içerisinde biriktirip işleyerek dışarıya farklı bir formatta tekrar veriyor olmaları. Yani enerjinin durağan bir akış halinde değil, basamaklı bir geçiş biçiminde düzenlenmesini sağlayan yeniden dağıtma mekanizmalarına karşılık gelmeleri.

red-spot

Dağıtıcı yapılar, her sistem için farklı olan belli bir kritik enerji değeri aşıldığında ortaya çıkıyor. Bu kritik değer aşıldığında otokatalitik süreçler devreye giriyor ve lokal kendiliğinden-organize kararlı dağıtıcı yapılar belirmeye başlıyor. Yukarıda bahsettiğimiz hücreler, insanlar, şehirler, kasırgalar, okyanus akıntıları, büyük kırmızı leke ve galaksilerin her biri birer dağıtıcı yapı ve dışarıdan enerji girdisine bağımlılar. Bu enerji girdisi sona erdiğinde de kararlılıklarını yitirip yok oluyorlar.

dissipative-structures

Yaşamın kökeninin de denizlerin derinliklerindeki alkalin hidrotermal menfezlerde var olan enerji akışının, kritik değeri aşması sonucu ortaya çıkan dağıtıcı yapılara dayandığı düşünülüyor. Bu kimyasal dağıtıcı yapıların nasıl canlı hücrelere dönüştüğünden ve alkalin hidrotermal menfezlerin en ünlüsü ‘Kayıp Şehir (Lost City)’ ile ilgili bilgilerden de daha sonra bahsedelim.

Kategorisiz içinde yayınlandı | 1 Yorum

Platonik Katılar, Aptal Altını, Virüsler

Platonik katıların varlığı ve özellikleri çok eski zamanlardan beri biliniyor. Eski Yunan’da yaklaşık MÖ 360 civarında, Platon’un Timeaus adlı eserinde bahsi geçmesi nedeniyle bu isim veriliyor olsa da, zamanında eski bir ezoterik matematik tarikatı kurmuş olan Pisagorcuların bunları ilk teorize edenler oldukları söylenir. Fakat büyük olasılıkla sadece üç tanesinden haberdardılar; tetrahedron (dört yüzlü), hegzahedron (küp – altı yüzlü) ve dodekahedron (on iki yüzlü). oktahedron (sekiz yüzlü) ve ikosahedron (yirmi yüzlü)’un ise Theaetetus tarafından keşfedildiği sanılmaktadır.

platonic-solids

Bunlardan tetrahedron, küp ve oktahedronun doğada görünebilir örneklerinin var olması nedeniyle keşfedilmeleri normal karşılanabilecek bir durumken, dodekahedron ve ikosahedronun soyutlama yoluyla bilinir oldukları tahmin edilmektedir. 16. yüzyılda Kepler de gezegenlerin gerçek elips yörüngelerini keşfetmeden önce gezegen yörüngelerini ve Güneş’e uzaklıklarını Platonik katılar aracılığıyla açıklayan bir model öne sürmüştü. Matematiksel estetiğin doğayı ve özellikle de gökyüzünü açıklayabilmesi gerektiği düşüncesinin sonucuydu bu durum, fakat işlerin çok daha karmaşık olduğu sonradan anlaşılacaktı.

kepler_solids

Peki başka keşfedilmemiş Platonik katılar da var mı? Üç boyutlu uzayda hayır, sayıları sadece beş tane. Bunun da çok basit bir topolojik ispatı var. Platonik katıların tümünün Euler sayısı 2’dir. Yani köşelerinin sayısı (V) eksi kenarlarının sayısı (E) artı yüzlerinin sayısı (F) tümü için 2’ye eşittir;

eq1

Bu özelliği sağlayan bilinen beş Platonik katı dışında herhangi bir çok yüzlü üç boyutta oluşturulamaz. İspat mı? Bir Platonik katıyı oluşturan yüzlerden birinin kenarlarının sayısına p ve her bir köşede birleşen yüzlerin sayısına da q diyelim. Bu arada {p,q} ikilisi o cismin Schlӓfli sembolü olarak adlandırılır. Her bir kenar iki köşeyi birleştirdiğinden ve iki yüze bitişik olduğundan aşağıdaki eşitlikler her zaman geçerlidir (biraz düşünerek görebilirsiniz!)

eq2

Bu eşitlikleri kullanıp yukarıdaki Euler formülünü sadece kenar sayısı E cinsinden yazabiliriz

eq3

E daima sıfırdan büyük olduğundan (daima sıfırdan fazla sayıda kenar sayımız olmalı!) sol taraftaki toplam daima 1/2’den büyük olmalı

eq4

ve üç boyutta bu şartı sağlayan {p,q} ikililerinin sayısı sadece beş tanedir;

eq5

Bunlar da sırasıyla tetrahedron, küp, oktahedron, dodekahedron ve ikosahedrondur, başka bir olasılık da mümkün değildir. Fakat daha yüksek boyutlarda durum değişebilir. Örneğin dört boyutta altı tane düzgün çokyüzlü oluşturulabilir. Boyut arttıkça bunların sayılarının da artacağı akla gelse de dörtten büyük her boyutta yalnıza üç tane düzgün çokyüzlü vardır. Yani en fazla sayıya dört boyutta ulaşılır. Esasında dört boyutun matematiksel olarak diğer boyutlardan başka açılardan da daha zengin olduğu biliniyor. Fakat bunun neden böyle olduğu konusunda henüz kesin bir fikir bulunmuyor. Ve ne tesadüf ki, içinde yaşadığımız uzay-zaman da dört boyutlu!

4d-platonics

Platonik katılardan yalnızca ilk üçünün doğada görünür karşılığı olduğu doğru olsa da bu diğerlerinin hiçbir şekilde doğada ortaya çıkmadıkları anlamına gelmiyor. Sicilya’da yaşayan Pisagorcuların dodekahedronu keşfetmelerine bu adada bol bulunan bir kristalin aracılık ettiği düşünülüyor. Aptal altını da denilen demir pirit kristalleri dodekahedrona çok benzeyen şekiller oluşturabiliyorlar. Esas yapısı küplerin üst üste dizilmeleriyle oluşmuş yaklaşık bir dodekahedron yapısı olsa da, kabaca dodekahedronun varlığını keşfetmeye yarayacak kadar benzerlik gösteriyor. Demir pirit kristallerine aptal altını denmesinin sebebi ise bu maddenin altına neredeyse ayırt edilemeyecek kadar çok benziyor oluşu. Gerçek altınla aptal altınını ayırt etmenin bir yolu ise demir piritin küp ve dodekahedron gibi düzenli şekilli kristallerden oluşmasına karşın gerçek altının düzensiz biçimlerde bulunuyor oluşu.

fools-gold-dodecahedron

Peki ikosahedron doğada karşılığı olmayan tek Platonik katı mı? Cevap hayır. Gözle görünür düzeyde olmasa da mikroskopik ölçeklerde ikosahedronlar doğada mevcutlar. Virüslerin tamamı geometrik şekillere sahipler, bunun nedeni de en basit biyolojik yapı olmalarından kaynaklanıyor. Virüslerin canlı mı yoksa cansız mı oldukları tartışmalı, ikisinin arasında bir yerdeler. Özdeş protein altbirimlerinin tekrarlı üsüste binmesinden oluşan virüslerin bu şekilde oluşturabilecekleri en kolay yapılar Platonik katı biçimleri. Birçok virüsün yapısı da ikosahedron biçiminde, bu şekilde tek bir proteinin tekrar tekrar üst üste konulmasıyla en fazla yer tasarrufu sağlanmış oluyor.

icosahedron-virus

Yani Platonik katılar sadece geometrik soyutlamalara değil, doğanın gerçek yapılarına da karşılık geliyorlar. Peki dört boyutun düzgün çokyüzlülerini görebileceğimiz bir yer var mı?

Kategorisiz içinde yayınlandı | Yorum bırakın